最短子数组 - 求解、性质与相关算法介绍
编辑：本站更新：2024-04-21 15:02:09人气：5722
在计算机科学和算法领域，"最短子数组问题”是一个经典的优化题目，在各种实际应用中具有广泛的影响。该问题要求从一个给定的整数数组中找到满足特定条件（例如：其元素之和等于某个目标值）且长度尽可能小的一个连续子序列。
### 一、问题定义
考虑这样一个场景：我们有一个非空整数数组 `A` = [a1, a2,...an] 和一个目标数值 `target_sum`，任务是找出数组中的最小子数组使得它的所有元素加起来恰好等于 `target_sum` 。如果存在多个这样的子数组，则返回其中任意一个即可；若不存在符合条件的子数组，则输出相应的提示信息或特殊标记表示无解。
### 二、基本求解方法——滑动窗口法
一种常见的解决策略被称为“前缀和 + 双指针”的技巧或者说“滑动窗口”。首先计算出原数组的所有前缀和，并用两个变量分别代表当前窗口的起始位置 i 和结束位置 j ，初始化时让整个数组成为一个初始候选子区间。然后移动右边界j并不断更新以i为起点的有效子区间的和S(j)-S(i-1)，当这个差值刚好等于目标值 target_sum 的时候，就找到了第一个符合题意的目标子数组。随后通过同时向内收缩左右边界的办法逐步缩小搜索范围直至无法继续缩减为止，这样就能确保所得到的就是最短的那个子数组。
def shortest_subarray(A, target):
prefixSum = [0]
for num in A:
prefixSum.append(prefixSum[-1]+num)
min_len = len(A) + 1
start = end = window_sum = 0
while (end < len(A)):
# 维护窗口内的总和达到目标sum
while(window_sum >= target and start <= end):
min_len = min(min_len, end-start+1)
window_sum -= prefixSum[start];
start += 1
if(end < len(A)):
window_sum += prefixSum[end];
end += 1
return min_len > len(A)? -1 : min_len
### 三、复杂度分析及相关变种
上述基于滑动窗口的方法时间复杂性大致介于O(n)至 O(n^2)之间，具体取决于输入数据以及如何实现细节上的优化。空间复杂度主要来自于存储前缀和的部分，因此也是线性的O(n)。
此外，“最短子数组问题”还有许多相关的变形形式，比如寻找最小均值或者最大乘积等约束下的最小区间等等，这些问题同样可以借鉴类似的双端扫描思路进行改造处理。
总的来说，尽管看似简单直观，但对“最短子数组问题”的理解和掌握却能帮助我们在很多现实世界的问题上运用高效的在线动态规划思想来解决问题，这正是此类经典算法的魅力所在。
### 一、问题定义
考虑这样一个场景：我们有一个非空整数数组 `A` = [a1, a2,...an] 和一个目标数值 `target_sum`，任务是找出数组中的最小子数组使得它的所有元素加起来恰好等于 `target_sum` 。如果存在多个这样的子数组，则返回其中任意一个即可；若不存在符合条件的子数组，则输出相应的提示信息或特殊标记表示无解。
### 二、基本求解方法——滑动窗口法
一种常见的解决策略被称为“前缀和 + 双指针”的技巧或者说“滑动窗口”。首先计算出原数组的所有前缀和，并用两个变量分别代表当前窗口的起始位置 i 和结束位置 j ，初始化时让整个数组成为一个初始候选子区间。然后移动右边界j并不断更新以i为起点的有效子区间的和S(j)-S(i-1)，当这个差值刚好等于目标值 target_sum 的时候，就找到了第一个符合题意的目标子数组。随后通过同时向内收缩左右边界的办法逐步缩小搜索范围直至无法继续缩减为止，这样就能确保所得到的就是最短的那个子数组。
python
def shortest_subarray(A, target):
prefixSum = [0]
for num in A:
prefixSum.append(prefixSum[-1]+num)
min_len = len(A) + 1
start = end = window_sum = 0
while (end < len(A)):
# 维护窗口内的总和达到目标sum
while(window_sum >= target and start <= end):
min_len = min(min_len, end-start+1)
window_sum -= prefixSum[start];
start += 1
if(end < len(A)):
window_sum += prefixSum[end];
end += 1
return min_len > len(A)? -1 : min_len
### 三、复杂度分析及相关变种
上述基于滑动窗口的方法时间复杂性大致介于O(n)至 O(n^2)之间，具体取决于输入数据以及如何实现细节上的优化。空间复杂度主要来自于存储前缀和的部分，因此也是线性的O(n)。
此外，“最短子数组问题”还有许多相关的变形形式，比如寻找最小均值或者最大乘积等约束下的最小区间等等，这些问题同样可以借鉴类似的双端扫描思路进行改造处理。
总的来说，尽管看似简单直观，但对“最短子数组问题”的理解和掌握却能帮助我们在很多现实世界的问题上运用高效的在线动态规划思想来解决问题，这正是此类经典算法的魅力所在。
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